KMITÁNÍ

Copyright©Jiří Škorpík, 2025
All rights reserved.

Silová a energetická bilance kmitání pružiny

Na Obrázku 2a je znázorněno těleso o hmotnosti m spojené s pružinou, na které ve směru osy pružiny působí zatěžující síla F₀, tak, že pružinu natahuje o délku 2·Δx. V tomto okamžiku t=0 s je těleso s pružinou v klidu, protože nastala silová rovnováha mezi silou F₀ a silou od elastické deformace pružiny F_el. Po odstranění síly F₀ začne síla F_el způsobovat zkracování pružiny. Při tomto ději postupně poroste kinetická energie tělesa E_K na úkor energie elastické deformace pružiny (jedná se o energii spotřebovanou pro prodloužení pružiny o délku Δx). Po dosažení polohy 0 (F_el=0 N) se situace otočí a pružina se začne stlačovat. Pro stlačení pružiny je potřeba energie, o kterou se sníží kinetická energie tělesa E_K. Odtud pohyb tělesa bude zpomalovat až na do úplného zastavení v poloze -Δx. Z této polohy dojde opět k pohybu ale opačným směrem. Tento kmitavý pohyb se bude opakovat tak dlouho, dokud nějaká tlumící síla (odporová od proudění okolního vzduchu, tření vnitřní struktury materiálu pružiny...) těleso nezastaví v klidové poloze z_b.

– 2: –

F_el [N] síla elastické deformace (předpoklad platnosti Hookeova zákona pro lineární deformaci); k [N·m^-1] tuhost pružiny v tahu.

Silová a energetická bilance torzního kmitání

Na Obrázku 3a je znázorněn disk o hmotnosti m připevněný k torzní tyči. Tento disk je silou F₀ působící na rameni o délce r otočen kolem své osy o úhel θ₀. Proti té síla působí moment sil T_el od elastické deformace zkroucení torzní tyče. Po odstranění síly F₀ se začne tyč vracet zpět do polohy θ=0° se zvyšují úhlovou rychlostí otáčení ω a tedy i se zvyšující se kinetickou energií disku E_K na tyči zavěšeného. E_K disku se zvyšuje na úkor elastické deformace torzní tyče v krutu (jedná se o energii spotřebovanou pro zkroucení tyče o úhel θ₀). Po dosažení bodu θ=0 se situace otočí, a tyč se opět začne kroutit tentokrát v důsledku setrvačných sil hmoty disku do záporných úhlů zkroucení. Pro zkroucení tyče je potřeba energie, o kterou se sníží kinetická energie disku E_K. Odtud rotace disku bude zpomalovat až do zastavení v poloze -θ₀. Z této polohy dojde opět k rotaci disku ale opačným směrem. Tento kmitavý pohyb se bude opakovat tak dlouho, dokud nějaká tlumící síla (odporová od proudění okolního vzduchu, tření vnitřní struktury materiálu torzní tyče...) disk nezastaví v klidové poloze θ=0°.

K vyřešení volných harmonických kmitů s jedním stupněm volnosti obvykle stačí rovnice pro energetické nebo silové rovnováhy. Pro sestavení rovnice energetické rovnováhy musíme nejprve vědět jaké energie se při kmitavém pohybu transformují mezi sebou, přičemž jejich součet musí zůstat v jakékoli fázy kmitu konstantní a roven energetickému obsahu vyšetřovaného systému v čase t=0, tedy E₀. Rovnice 5 je rovnice energetické rovnováhy pro případy kmitů zobrazené na Obrázku 1. Mimo kinetické potenciální a energie deformační může kmitavý pohyb ovlivňovat i energie vnitřní tepelná a tlaková, viz Úloha 500.

– 5: –

E [J] energie. Index _K označuje energii kinetickou, index _h energie potenciální od tíhových sil, index _el energie od elastických deformací v tělese (energie potřebná k tvarovému přetvoření tělesa).

Vzorce pro výpočet jednotlivých energií jako funkce polohy lze získat z fyzikálních tabulek (pro základní případy) nebo odvodit z definic jednotlivých energií aplikovaných na vyšetřovaný případ, viz Vzorce 6.

– 6: –

(a) přímočarý posuvný pohyb tělesa (proměnná je vzdálenost na ose-x); (b) rotační pohyb tělesa (proměnná je obvodový úhel-θ).
J [kg·m²] moment setrvačnosti tělesa; V [m·s^-1] rychlost; x [m] příslušná proměnná pro daný směr pohybu; ω [rad·s^-1] úhlová rychlost.

Kombinací rovnice energetické rovnováhy vyšetřované kmitající soustavy (např. Rovnice 5) a rovnic pro jednotlivé energie (např. např. Rovnice 6) obvykle získáme obyčejnou diferenciální rovnici. Tuto rovnici je obvykle možné snadno vyřešit pro vybrané okrajové a počáteční podmínky. Například pro případy kmitání kyvadla, pružiny a torzní tyče na Obrázku 1 lze tímto způsobem odvodit Rovnice 7 popisující frekvenci kmitání pro tyto jednoltivé případa.

– 7: –

(a) frekvence kmitání kyvadla; (b) frekvence kmitání pružiny; (c) frekvence torzního kmitání. Výpočet je proveden v Příloze 2.

Kritické frekvence konstrukcí

Volné harmonické kmitání konstrukce je obvykle velmi blízko reálným kritickým frekvencím. Kritické frekvence jsou takové frekvence, změn síl působící ve vyšetřoném směru, při kterých bude výchylka neustále při každém cyklu narůstat, až deformace konstrukce dosáhne kritických mezí. To znamená, že konstrukce se poškodí nebo přestane plnit svůj účel. Historie zná mnoho případů selhání konstrukce, tím, že byla zatěžována i velmi malou silou ale s kritickou frekvencí – velmi známé jsou katastrofy zřícení mostů i s oběti na životech.

Volné harmonické kmitání příčných nosníků a rotorů

Speciálním ale velmi frekventovaně řešeným případem volného harmonického kmitání jsou příčné nosníky a rotující hřídele. Tyto problémy jsou v rámci jedné kapitoly, protože výsledné vzorce platí pro oba případy.

Harmonické frekvence příčných nosníků zatížené více břemeny

Jednoduchý případ příčného nosníku zatíženého v jednom místě je už řešen v rámci Úlohy 1 na tomto základě lze odvodit frekvenci volných harmonických kmitů příčného nosníku zatíženého v několika místech. V případech, kdy na konstrukci je více těles byť stejně hmotných záleží jejich vliv na kmitání podle toho, kde se nalézají, respektive na deformaci v daném místě, viz Obrázek 8, přičemž si všimněte, že harmonická frekvence závisí na počtu břemen a jejich hmotnosti, což platí i pro mostní konstrukce.

– 8: –

(a) schéma deformace příčného nosníku zatíženého třema břemeny; (b) rovnice pro harmonické frekvence příčného nosníku zatíženého n-břemeny. Odvození rovnice je provedeno v Příloze 3.

Kritické frekvence hřídelů, respektive Lavalova rotoru

Lze dokázat, že rovnice pro kritickou frekvenci hřídele má stejný tvar jako Rovnice 8 [Tymošenko, 1960, s. 34]. Břemena v takovém případě představují nevývažky podél osy (tzv. Lavalův rotor). To znamená, že těžiště jednotlivých břemen jsou v místě excentricity, viz Obrázek 9. U reálných hřídelí uložených v hydrodynamických ložiscích je ovšem nutné počítat s výrazným vlivem tlumení v ložiskách na výslednou kritickou frekvenci [Gasch and Pfützner, 1980].